简谈期权脆弱欧式期权定价模型
本站原创 1009-4202（2012）12-000-03
摘要首先本文通过介绍信用衍生品，解释了信用衍生品中期权以及脆弱期权的概念，其次从期权定价的角度，重点介绍了两种期权定价的方法，而后通过分析目前两种主流的结构模型和约化模型，来回顾期权定价以及脆弱期权定价的研究过程，整理了两种模型的思路。最后，在完全市场和不完全市场下分别对两种不同的定价思想进行比较，并提出今后可能的研究发展方向。
关键词信用风险脆弱期权定价模型
保护，期权多头暴露在信用风险之下，信用风险则随着期权空头方违约概率的增加而增大。不同于场内交易的期权，OTC市场并没有专门的类似于清算所之类的机构来迫使期权的开立方到期履行义务。因此，目前的信用衍生品市场上迫切需要一种权威的，针对于有信用风险的期权的的制定方法。
Fischer Black和Myron Scholes（1973）提出的Black-Scholes定价公式在期权定价研究中具有里程碑式的意义。在Louis Bachelier（1900）后，Paul Samuelson首先通过对Louis Bachelier的模型中股票的修改得到随机偏微分方程，通过几何Brown运动对原生资产的刻画，克服了股价可能出现负值的情况。Fischer Black和Myron Scholes在前人研究的基础上排除了需要依赖于投资人个人偏好的的参数，利用无风险利率r以及Δ-对冲的方法巧妙地将将投资者引入了一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界（risk-neutral world），并给出了该假设下欧式看涨期权的风险中性公式：
B-S定价方法的思路是通过运用-对冲技巧建立无风险回报投资组合并对期权进行复制，在对标的资产进行建模后，由It?引理及无套利原理通过解一个偏微分方程，从而得出期权的具体。Fischer Black和Myron Scholes（1973）在推导B-S公式的时候首次通过这种方法得出了期权的。
尽管B-S期权定价公式的提出意义非凡，但在Fischer Black和Myron Scholes提出的定价公式中并未考虑交易对手违约的风险。1974年Merton[5]创立了最初的信用风险债券定价模型，他假定破产门槛值K为常数，通过破产概率来计算风险零息债券的价值。Johnson和stulz （1987）通过假设公司资本包含资产和负债，当资不抵债时公司发生违约，将Merton的含信用风险的公司债券模型进行扩展，应用到相应的期权定价中，探讨了含交易对手违约风险的期权定价问题，并首次将这种期权命名为脆弱期权。脆弱期权的提出，标志着研究方向更加专注于信用风险对期权定价的影响，同时在信用风险条件下得到的期权也更贴近交易市场的实际情况。
公司价值模型又称结构化模型，最早是由Merton在1974年研究公司信用风险债券定价时建立的，因此公司价值模型又被称作莫顿模型。该模型假设公司的资产价值低于公司所欠的债务时，就以宣布破产的形式将公司资产抵押给债券持有者。这类方法最大的优势在于其不再假设破产是一外部常量，并将违约时的偿还率与公司资产价值联系起来了。
同时该模型下莫顿还有一系列的假设，例如：公司不能在到期日之前发生破产、公司资产结构中只含有一类债务等。
Johnson和stulz（1987）通过扩展莫顿的公司价值模型，首次引入了脆弱期权的定义并进行了相关定价的研究。Johnson和stulz假设脆弱看涨期权的价值可以看做这里表示交易对手公司资产的价值，表示基础证券的价值，表示期权的执行。尽管他们并未求得脆弱期权的分析性闭解公式，但他们还是通过数学积分求得了，同时还指出了脆弱期权的大量特征，发现了基础资产与公司价值的相关性也对期权有相应的影响。Johnson和stulz在Merton的基础上有了很大的发展，不过由于模型中假设交易对手资本结构中仅仅存在一类负债，这就使得与期权结算金相比，基础资产对到期日对公司偿付要求权的能力具有很大潜在影响。由于公司价值的一些假设过于严格，后续的研究中对最初的公司价值模型进行了不同的改进。
Hull-White（1995）[6]在Johnson和stulz的基础上公司资产结构中还存在着其他的要求权，且这种要求权与要定价的期权属同一级别。在Hull-White的模型下，违约可以发生在到期前的任何时候，同时他们还将违约门槛设为一个比值，当一个与公司价值无关的函数触及这个比值时发生违约。
Klein（1996）[7]放弃了Hull-White模型中可以提前违约的假设，而是沿用Merton的违约只能发生在到期时。但对Johnson和stulz的债务假设进行了扩展，假定公司资本结构中除了期权外，还包含有其他债务，并假定公司资产价值低于某一固定违约边界时违约发生，在这些假设前提下，通过鞅测度得到一个显性解。
Ammann（2001）[8]和我国学者吴恒煜（2005）[9]先后通过通过随机利率和随机对手负债对Klein的模型进行了一般化的扩展，使得Klein的模型成为了一般化模型下的特例。王保和，李时银（2003）[10]通过运用随机过程的反射原理，以及停时分布等数学思想得到了提前违约假设下期权的定价公式。
（2）约化模型
约化模型，又称强度模型、密度模型或者简化模型。该模型将破产看成是由外在不可预知因素造成而非直接从公司价值的演变考虑公司违约的可能。
约化模型最初也是从风险债券定价中产生的。Jarrow和Turnbull（1995）[11]将破产（违约）用一个破产函数表示，通过一个外生的Possion过程的跳跃来模拟公司的破产（违约）。该模型假设公司从未违约跳跃至违约，在某一给定时间段中发生跳的概率取决于违约密度，通常用表示。在这个假设下得到了可能违约的信用风险债券的随机微分方程组：
Jarrow、Lando和Turnbull（1997）[12]借助发起矩阵界定了时间同质的定义状态空间马尔科夫链综合信用等级得到零息债券的：
由于违约函数是一个以时间为变量的函数，无法刻画当违约发生时，交易对手公司将造成的损失，因此，该模型中还假设违约的清偿率是外部给定的。会计论文
风险债券和含信用风险的期权在定价问题上具有相似性，因此Jarrow和Turnbull（1995）运用外汇类推法，通过一个重组格状图、利用离散的方法，将约化模型下的含信用风险债券的推广到脆弱期权定价上。得出脆弱期权的为：
该模型下有两个关键的假设：一、由于违约函数是一个以时间为变量的函数，无法刻画当违约发生时，交易对手公司将造成的损失，因此，该模型中还假设违约的清偿率是外部给定的。二、不论在经验概率还是在风险中立概率下，违约密度都是外生常量。正是由于这两个关键的假设，使得Jarrow和Turnbull的模型求得了零息债券的封闭解，还可以推广求得脆弱期权的封闭解。但另一方面，这两个假设在实际应用中缺乏弹性，也造成了模型本身的缺陷。
为了克服以上的缺陷，Jarrow、Lando和Turnbull（1997）在 Jarrow和Turnbull（1995源于：毕业总结范文http://www.328tibet.cn
）的模型进行了进一步改进，取消了违约密度在不同时间中是一个常数的假设，同时仍保留了清偿率为外生常量的假设，将违约概率和信用等级联系起来，通过空间马尔科夫链把违约看成是一个不依赖于公司资产的外生过程。
转换矩阵的使用解决了违约密度为常数的缺陷，同时也产生了新的问题。建立在经验基础上的信用评级在实际应用中该模型对于新的信息并不敏感。
Duffie和Singleton （1999）[13]在之后研究约化模型时，通过将信用风险以贴现率的方式体现出来，即当发生违约时期权的交割价产生相应贬值，将t时刻的贴现率变为，从而得出
参考文献：
BACHELIER L. Théorie de la Spéculation. Ann. Sci. ?cole Norm. Sup. 1900.17（3）：21-8
[4]Johnson，H. and Stulz，R. The pricing options under default risk. Journal of Finance.1987.
[5]Merton，R.C. On the pricing of corporate debt： the risk structure of interest rates. Journal of Finance.197
[8]Ammann M. Credit Risk Valuation， Methods， Models， and Application. Second Edition， Berlin： Springer.2001.
[9]吴恒煜.具有违约风险的欧式期权定价.经济数学.200
[11]Jarrow R A， Turnbull S. Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk. Journal of Finance.199
[14]COCHRANE J H，SA?-REQUEJO J. Beyond arbitrage： Good deal asset price bounds in incomplete markets. Journal of Political Economy.2000.108（1）：79-119.
[15]MAO-WEI HUNG， YU-HONG LIU Pricing Vulnerable Options in Incomplete Markets. The Journal of Future Markets.200
摘要首先本文通过介绍信用衍生品，解释了信用衍生品中期权以及脆弱期权的概念，其次从期权定价的角度，重点介绍了两种期权定价的方法，而后通过分析目前两种主流的结构模型和约化模型，来回顾期权定价以及脆弱期权定价的研究过程，整理了两种模型的思路。最后，在完全市场和不完全市场下分别对两种不同的定价思想进行比较，并提出今后可能的研究发展方向。
关键词信用风险脆弱期权定价模型
一、引言会计毕业论文答辩
在金融市场中，信用风险一直是一种很难进行定量分析和管理的风险。因此，信用风险管理领域一直缺乏一种与利率风险管理工具类似的风险对冲工具，直到1992年在巴黎举行的ISDA（国际互换与衍生品协会）年会上才首次正式提出了信用衍生品（Credit Derivatives）这种可以用作分散、转移、对冲信用风险的创新产品。信用衍生产品提出后就迅速发展，深受追捧。2008 年初，信用衍生品市场的总规模已达到62 万亿美元。但在这些信用衍生品交易中，场外交易（OTC）的衍生产品占已到衍生产品交易总额90%左右。由于场外交易的期权不受交易所或国家权力机构的学术论文下载http://www.328tibet.cn保护，期权多头暴露在信用风险之下，信用风险则随着期权空头方违约概率的增加而增大。不同于场内交易的期权，OTC市场并没有专门的类似于清算所之类的机构来迫使期权的开立方到期履行义务。因此，目前的信用衍生品市场上迫切需要一种权威的，针对于有信用风险的期权的的制定方法。
二、期权定价方法
1.传统期权定价方法
期权定价的概念最初是由Louis Bachelier（1900）在其论文《Théorie de la Spéculation》（投机交易理论）中提出的。他首次提出了利用随机游走（random walk）的思想对股票的演化进行了模拟，并在这种假设下讨论了期权的定价问题。2.B-S定价方法
自期权的概念提出以来，学者们都提出了期权的定价方法。综合目前的期权的定价方法上，大体有两种思路。一种是B-S定价方法，另一种是鞅测度法。Fischer Black和Myron Scholes（1973）提出的Black-Scholes定价公式在期权定价研究中具有里程碑式的意义。在Louis Bachelier（1900）后，Paul Samuelson首先通过对Louis Bachelier的模型中股票的修改得到随机偏微分方程，通过几何Brown运动对原生资产的刻画，克服了股价可能出现负值的情况。Fischer Black和Myron Scholes在前人研究的基础上排除了需要依赖于投资人个人偏好的的参数，利用无风险利率r以及Δ-对冲的方法巧妙地将将投资者引入了一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界（risk-neutral world），并给出了该假设下欧式看涨期权的风险中性公式：
B-S定价方法的思路是通过运用-对冲技巧建立无风险回报投资组合并对期权进行复制，在对标的资产进行建模后，由It?引理及无套利原理通过解一个偏微分方程，从而得出期权的具体。Fischer Black和Myron Scholes（1973）在推导B-S公式的时候首次通过这种方法得出了期权的。
3.鞅测度专科毕业论文范文
鞅测度是后来使用较多的方法。在完全市场下，即或有权益的到期支付可以被一组可交易资产的投资组合进行复制的市场下，Harrison和Pliska（1981）[3]证明了存在唯一的鞅测度。通过选取一个与客观概率测度等价的鞅测度和一个标准资产，期权合约所对应的标的资产用该资产折现后在风险中性测度下是一个鞅，由于市场不存在套利机会，从而期权的当前可看作是到期支付函数经标准资产折现后在风险中性测度下的期望。会计学学年论文三、脆弱期权定价模型
1.脆弱期权
脆弱期权（vulnerable options）首先是由Johnson和stulz（1987）[4]提出的，他们首次讨论了信用违约风险对期权的影响，并将这种包含交易对手违约风险的期权命名为脆弱期权。尽管B-S期权定价公式的提出意义非凡，但在Fischer Black和Myron Scholes提出的定价公式中并未考虑交易对手违约的风险。1974年Merton[5]创立了最初的信用风险债券定价模型，他假定破产门槛值K为常数，通过破产概率来计算风险零息债券的价值。Johnson和stulz （1987）通过假设公司资本包含资产和负债，当资不抵债时公司发生违约，将Merton的含信用风险的公司债券模型进行扩展，应用到相应的期权定价中，探讨了含交易对手违约风险的期权定价问题，并首次将这种期权命名为脆弱期权。脆弱期权的提出，标志着研究方向更加专注于信用风险对期权定价的影响，同时在信用风险条件下得到的期权也更贴近交易市场的实际情况。
2.脆弱期权定价模型
（1）公司价值模型公司价值模型又称结构化模型，最早是由Merton在1974年研究公司信用风险债券定价时建立的，因此公司价值模型又被称作莫顿模型。该模型假设公司的资产价值低于公司所欠的债务时，就以宣布破产的形式将公司资产抵押给债券持有者。这类方法最大的优势在于其不再假设破产是一外部常量，并将违约时的偿还率与公司资产价值联系起来了。
同时该模型下莫顿还有一系列的假设，例如：公司不能在到期日之前发生破产、公司资产结构中只含有一类债务等。
Johnson和stulz（1987）通过扩展莫顿的公司价值模型，首次引入了脆弱期权的定义并进行了相关定价的研究。Johnson和stulz假设脆弱看涨期权的价值可以看做这里表示交易对手公司资产的价值，表示基础证券的价值，表示期权的执行。尽管他们并未求得脆弱期权的分析性闭解公式，但他们还是通过数学积分求得了，同时还指出了脆弱期权的大量特征，发现了基础资产与公司价值的相关性也对期权有相应的影响。Johnson和stulz在Merton的基础上有了很大的发展，不过由于模型中假设交易对手资本结构中仅仅存在一类负债，这就使得与期权结算金相比，基础资产对到期日对公司偿付要求权的能力具有很大潜在影响。由于公司价值的一些假设过于严格，后续的研究中对最初的公司价值模型进行了不同的改进。
Hull-White（1995）[6]在Johnson和stulz的基础上公司资产结构中还存在着其他的要求权，且这种要求权与要定价的期权属同一级别。在Hull-White的模型下，违约可以发生在到期前的任何时候，同时他们还将违约门槛设为一个比值，当一个与公司价值无关的函数触及这个比值时发生违约。
Klein（1996）[7]放弃了Hull-White模型中可以提前违约的假设，而是沿用Merton的违约只能发生在到期时。但对Johnson和stulz的债务假设进行了扩展，假定公司资本结构中除了期权外，还包含有其他债务，并假定公司资产价值低于某一固定违约边界时违约发生，在这些假设前提下，通过鞅测度得到一个显性解。
Ammann（2001）[8]和我国学者吴恒煜（2005）[9]先后通过通过随机利率和随机对手负债对Klein的模型进行了一般化的扩展，使得Klein的模型成为了一般化模型下的特例。王保和，李时银（2003）[10]通过运用随机过程的反射原理，以及停时分布等数学思想得到了提前违约假设下期权的定价公式。
（2）约化模型
约化模型，又称强度模型、密度模型或者简化模型。该模型将破产看成是由外在不可预知因素造成而非直接从公司价值的演变考虑公司违约的可能。
约化模型最初也是从风险债券定价中产生的。Jarrow和Turnbull（1995）[11]将破产（违约）用一个破产函数表示，通过一个外生的Possion过程的跳跃来模拟公司的破产（违约）。该模型假设公司从未违约跳跃至违约，在某一给定时间段中发生跳的概率取决于违约密度，通常用表示。在这个假设下得到了可能违约的信用风险债券的随机微分方程组：
Jarrow、Lando和Turnbull（1997）[12]借助发起矩阵界定了时间同质的定义状态空间马尔科夫链综合信用等级得到零息债券的：
由于违约函数是一个以时间为变量的函数，无法刻画当违约发生时，交易对手公司将造成的损失，因此，该模型中还假设违约的清偿率是外部给定的。会计论文
风险债券和含信用风险的期权在定价问题上具有相似性，因此Jarrow和Turnbull（1995）运用外汇类推法，通过一个重组格状图、利用离散的方法，将约化模型下的含信用风险债券的推广到脆弱期权定价上。得出脆弱期权的为：
该模型下有两个关键的假设：一、由于违约函数是一个以时间为变量的函数，无法刻画当违约发生时，交易对手公司将造成的损失，因此，该模型中还假设违约的清偿率是外部给定的。二、不论在经验概率还是在风险中立概率下，违约密度都是外生常量。正是由于这两个关键的假设，使得Jarrow和Turnbull的模型求得了零息债券的封闭解，还可以推广求得脆弱期权的封闭解。但另一方面，这两个假设在实际应用中缺乏弹性，也造成了模型本身的缺陷。
为了克服以上的缺陷，Jarrow、Lando和Turnbull（1997）在 Jarrow和Turnbull（1995源于：毕业总结范文http://www.328tibet.cn
）的模型进行了进一步改进，取消了违约密度在不同时间中是一个常数的假设，同时仍保留了清偿率为外生常量的假设，将违约概率和信用等级联系起来，通过空间马尔科夫链把违约看成是一个不依赖于公司资产的外生过程。
转换矩阵的使用解决了违约密度为常数的缺陷，同时也产生了新的问题。建立在经验基础上的信用评级在实际应用中该模型对于新的信息并不敏感。
Duffie和Singleton （1999）[13]在之后研究约化模型时，通过将信用风险以贴现率的方式体现出来，即当发生违约时期权的交割价产生相应贬值，将t时刻的贴现率变为，从而得出
四、定价思想的比较和改进专科会计专业论文
1.定价思想的比较
微分方程法和鞅测度的方法是两个完全不同的思路，相比较而言，微分方程法较为巧妙地运用投资组合解决了期权定价的问题。但同时我们也应看到，在之后的研究中更多的倾向于鞅测度的方法。其中一个比较重要的原因当对模型进行扩展或者改进后，例如随机利率、随机对手负债时，鞅测度的方法体现出了更大的优越性。下文将就不同市场和拓展改进的角度对两者进行比较2.完全市场下的比较
在完全市场下期权的预期损益都能用一种价值确定的投资组合来复制，因此在无套利条件下，不论是通过微分方程法还是鞅测度的方法，都存在唯一的等价鞅测度，期权都能获得唯一定价。从最初Fischer Black和Myron Scholes （1973）提出的期权定价，到后来的公司价值模型、约化模型、以及之后众多关于假设的扩展都是以完全市场为基础的。在完全市场下，各个模型也产生了不同的思路。首先在随机过程的模拟方面，自B-S公式诞生时，将公司价值用Brown运动模拟后，后来的研究多遵循这一点，同时在约化模型中又附加Possion过程模拟公司违约。其次在公司价值模型下，关于负债和利率的不同组合也成为了研究的思路：固定负债、固定利率；随机负债、固定利率；随机负债，高斯利率；不同的组合显示了对市场的不同程度的刻画。在这些研究中使用的则多是鞅测度的方法。3.不完全市场下的改进
尽管上述两种方法已经在期权定价中应用广泛，但同样也面临了诸多问题。在实际情况下的许多因素如：市场交易的非连续性、市场交易存在摩擦、资产的过程存在跳跃现象、资产的未来收益分布呈厚尾分布、资产波动率的随机性、基本资产的不可交易等都造成了市场的不完全。在不完全市场下，就没有准确的投资组合可供期权进行复制，同时即使市场是无套利的，由于会产生多个等价鞅测度，也会产生多种不同的定价。Cochrane和Saá-Requejo（2000）[14]提出了用贴现因子为期权定价的思路。Mao-Wei Hung和Yu-Hong Liu（2005）[15]用这种方法给出了不完全市场下脆弱期权的定价公式。五、结语1.信用风险模型的过渡
一直以来，含信用风险期权的定价研究都是基于信用风险模型研究进行改进和发展得来的。到目前为止关于信用风险理论的研究成果丰硕，经验事实模型、公司价值模型、首越边界时间模型和密度模型等都已经有了相对成熟的研究，有的模型也在相关金融产品中有了应用。但相比之下关于包含期权定价在信用风险下度量的研究却屈指可数。目前运用于脆弱期权定价的信用风险模型仅有公司价值模型和约化模型这两种。因此如何将信用风险模型应用于现有的含信用风险的期权定价中将是今后的一个研究方向。目前关于信用风险模型中的首越边界时间模型以及还在发展中的综合模型都将有可能应用于脆弱期权的定价，开拓出不同的思路和方法。2.脆弱期权研究的展望
就目前研究而言，对于场外交易（OTC）的不完全市场下，针对不同交易目的的人群，我们目前还不能准确的对脆弱期权进行定价。从现有的发展来看，针对不完全市场，单一的公司价值模型或约化模型已经不能满足对现有市场的刻画。今后的研究将综合运用公司资产结构模型以及约化模型的思想共同建模。例如在模型中，运用结构模型的思想，将违约清偿率依赖于公司价值，而在违约时间上通过约化模型，建立破产函数的方法进行建模。这样综合运用信用风险模型对期权进行定价将会成为未来研究的方向和重点。参考文献：
BACHELIER L. Théorie de la Spéculation. Ann. Sci. ?cole Norm. Sup. 1900.17（3）：21-8
6.财会论文
BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy， 1973.81（3）：637-659.
[3]Harrison， J.Michale， and Stanley Pliska. Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading. Stochastic and Their Applications.1981（11）：215-260.[4]Johnson，H. and Stulz，R. The pricing options under default risk. Journal of Finance.1987.
[5]Merton，R.C. On the pricing of corporate debt： the risk structure of interest rates. Journal of Finance.197
4.2：449-470.
[6]HULL J C，WHITE A. The impact of default risk on the prices of options and other derivative securities. Journal of banking and Finance.1995.19（2）：299-322.
[7]KLEIN P C. Pricing Black-Scholes options with correlated credit risk. Journal of Banking & Finance. 1996.20（摘自：本科毕业论文评语http://www.328tibet.cn
7）：1129-1211.[8]Ammann M. Credit Risk Valuation， Methods， Models， and Application. Second Edition， Berlin： Springer.2001.
[9]吴恒煜.具有违约风险的欧式期权定价.经济数学.200
5.22（4）：373-383.
[10]王保和，李时银.允许提前违约的信用衍生产品定价研究.数学的实践和认识.2003（9）.会计专业论文写作提纲[11]Jarrow R A， Turnbull S. Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk. Journal of Finance.199
5.50（1）：53-86.
[12] Jarrow， R.， Did Lando and Stuart Turnbull. A Markov Model of the Term Structure of Credit Spreads， Review of Financial Studies. 1997.10（2）.
[13]Duffie D. and K. Singleton， Modeling Term Structures of Defaultable Bonds. Review of Financial Studies. 1999.12：687-720.[14]COCHRANE J H，SA?-REQUEJO J. Beyond arbitrage： Good deal asset price bounds in incomplete markets. Journal of Political Economy.2000.108（1）：79-119.
[15]MAO-WEI HUNG， YU-HONG LIU Pricing Vulnerable Options in Incomplete Markets. The Journal of Future Markets.200