求函数值域常用策略
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密切联系,运用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在探讨函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用策略的,它不像定义域有一定可依据的法则和程序,由此要根据不足的不同特点,综合而灵活地运用各种策略求之。下面列举几种函数值域求解的常用策略。
关键词:函数;值域;策略
:A
函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,运用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的财会专业。在探讨函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用策略的,它不象定义域有一定可依据的法则和程序,由此要根据不足的不同特点,综合而灵活地运用各种策略求之。下面列举几种函数值域求解的常用策略。
例1:y=1-|x|
解:∵|x|≥0 ∴y≤1 故所求的值域为(-∞,1〕
例2:求函数 的值域
解:∵∴
∴ 故值域为(-∞,1)∪(1,+∞)
注:若观察出函数是单调函数,则可利用函数单调性求值域。
例3:求函数的值域
解:由
可知y≠1/2,同时因x≠2,故y≠3/2
∴所求值域为{y|y∈R且y≠1/2,y≠3/2｝
2.当分子与分母无公因式时,利用判别式求值域时,先转化为含参量y的一元二次方程,但要以判别式求出的结果中除去关于x的一元二次方程的二次项系数为零且又使方程无实数解的y值。同时要注意弄准函数定义域,并要检验边界点能否达到,否则可能得到错解会计本科生毕业论文范文。
例4:求函数的值域
解:经检验分子、分母无公因式,把原式变形:
(y-2)x2+(y-2)x+y-3=0①
显然y≠2(∵若y=2,则方程①为-1=0不成立,∴y≠2)
∵y∈R∴方程①有实根的充要条件
y≠2
{△=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,得2﹤y≤10/3
故所求值域为(2,10/3〕
例5:求函数y=x2+4x+3(X∈〔-1,0〕的值域
解:y=(x+2)2-1∵-1≤x≤0
∴当x=-1时,ymin=0,当x=0时,ymax=3
故所求值域为〔0,3〕
注:用配策略可求二次函数在指定区间上值域时,切勿直接套二次函数的最值公式,因为这时最值未必在顶点处取得。
例6:求函数y=sin2x+cosx+1=1-cos2x+cosx+1
=-cos2x+cosx+2=-(cosx-1/2)2+9/4
∵-1≤cosx≤1当cosx=1/2时,ymax=9/4
当cosx=-1时,ymin=0
∴y∈〔0,9/4〕
例7:求函数 值域
解:∵函数的反函数为y=log2x/(1-x)且定义域为
(0,1)故函数值域为y∈(0,1)。
例8:求函数y=2x-3+值域
解:由4x-13≥0得x∈〔13/4,+∞〕
令t= (t≥0)则x=
于是y=2 -3+t=2/1(t+1)2+3≥7/2
即所求函数值域为〔7/2,+∞)
③ɑ>0,c>0,与④ɑ<0,c<0时,可用如下方法求其值域
例9:求函数 值域
解:设
则:2s2-t2=11①
s-t=y②
函数值域转化为方程①与②在直角坐标平面内有公共点时,y取值范围会计专业学科论文。
方程①可化为( t≥0)
此方程图象是双曲线,在第一象限部分,方程②的图象是斜率为1,在t轴上的截距为-y的直线,由图可知: ∴
故所求函数值域为(-∞,〕
注:本题例12策略也可以解决函数
f(x)=的值域不足,只是转化为椭圆与直线有公共点时,直线在t轴上的截距不足。
例10:求函数值域
解:∵此函数定义域为(1,+∞)设
μ=
=(∵x>1,∴x-1>0)
上式当且仅当 即x=3取等号,即y=log2μ≥2
故所求函数值域为〔2,+∞)
八、单调法
确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数值域。
九、数形结合法
画出函数图象,利用图象直观得出函数值域。
例11:求函数y=|x-3|-|x+1|值域
解:设y=|x-3|-|x+1|
-4(x≥3)
=2-2x(-1≤x≤3)
4(x≤-1)
的图象如右图
故值域为〔-4,4〕
总之,在具体求某个函数值域时,首先要仔细认真观察其题型特点,然后再选择适当策略,做题就会得心应手,取得事半功倍的效果。
参考文献:
厉以宁,秦宛顺.现代西方经济学概论[M].北京:北京大学出版社,1983
黎诣远.西方经济学(上册)[M].北京:清华大学出版社
[3]李种,现代西方微观经济学概论[J].北京:高等教育出版社,1995
[4][美]H•范里安.[M].上海:上海三联书店,上海人民出版社,1994
[5]朱建中,高汝熹.数理经济学[Ml武汉:武汉大学出版社,1992
作者介绍:
秦慧珍(1969.3- ),女,山西省隰县,本科,中学一级教师。
密切联系,运用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在探讨函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用策略的,它不像定义域有一定可依据的法则和程序,由此要根据不足的不同特点,综合而灵活地运用各种策略求之。下面列举几种函数值域求解的常用策略。
关键词:函数;值域;策略
:A
函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,运用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的财会专业。在探讨函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用策略的,它不象定义域有一定可依据的法则和程序,由此要根据不足的不同特点,综合而灵活地运用各种策略求之。下面列举几种函数值域求解的常用策略。
一、观察法
对于一些简单函数,可通过对于函数定义域及对应法则的观察浅析求值域。例1:y=1-|x|
解:∵|x|≥0 ∴y≤1 故所求的值域为(-∞,1〕
例2:求函数 的值域
解:∵∴
∴ 故值域为(-∞,1)∪(1,+∞)
注:若观察出函数是单调函数,则可利用函数单调性求值域。
二、判别式法
用判别式求(a1,b1,c1,a2,b2,c2皆为常数,a1、a2不同时为零)型函数值域时分两种具体情况:
1.当分子与分母有公因式时,这时,可先约去公因式后再求值域,但须除去使公因式为零的x所对应的y值。例3:求函数的值域
解:由
可知y≠1/2,同时因x≠2,故y≠3/2
∴所求值域为{y|y∈R且y≠1/2,y≠3/2｝
2.当分子与分母无公因式时,利用判别式求值域时,先转化为含参量y的一元二次方程,但要以判别式求出的结果中除去关于x的一元二次方程的二次项系数为零且又使方程无实数解的y值。同时要注意弄准函数定义域,并要检验边界点能否达到,否则可能得到错解会计本科生毕业论文范文。
例4:求函数的值域
解:经检验分子、分母无公因式,把原式变形:
(y-2)x2+(y-2)x+y-3=0①
显然y≠2(∵若y=2,则方程①为-1=0不成立,∴y≠2)
∵y∈R∴方程①有实根的充要条件
y≠2
{△=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,得2﹤y≤10/3
故所求值域为(2,10/3〕
三、配策略
适用于求二次函数和与二次函数有关的函数值域例5:求函数y=x2+4x+3(X∈〔-1,0〕的值域
解:y=(x+2)2-1∵-1≤x≤0
∴当x=-1时,ymin=0,当x=0时,ymax=3
故所求值域为〔0,3〕
注:用配策略可求二次函数在指定区间上值域时,切勿直接套二次函数的最值公式,因为这时最值未必在顶点处取得。
例6:求函数y=sin2x+cosx+1=1-cos2x+cosx+1
=-cos2x+cosx+2=-(cosx-1/2)2+9/4
∵-1≤cosx≤1当cosx=1/2时,ymax=9/4
当cosx=-1时,ymin=0
∴y∈〔0,9/4〕
四、反函数法
利用反函数定义域求原函数值域例7:求函数 值域
解:∵函数的反函数为y=log2x/(1-x)且定义域为
(0,1)故函数值域为y∈(0,1)。
五、换元法
1.形如y=ɑx+b± ,(ɑ、b、c、d皆为常数,且ɑ、c不为零)会计学论文格式。例8:求函数y=2x-3+值域
解:由4x-13≥0得x∈〔13/4,+∞〕
令t= (t≥0)则x=
于是y=2 -3+t=2/1(t+1)2+3≥7/2
即所求函数值域为〔7/2,+∞)
2.三角代换
3.如(ɑ,b,c,d均为常数,且ɑc≠0)
①ɑ>0,c<0,与②ɑ0时,可由单调函数性质求出值域③ɑ>0,c>0,与④ɑ<0,c<0时,可用如下方法求其值域
例9:求函数 值域
解:设
则:2s2-t2=11①
s-t=y②
函数值域转化为方程①与②在直角坐标平面内有公共点时,y取值范围会计专业学科论文。
方程①可化为( t≥0)
此方程图象是双曲线,在第一象限部分,方程②的图象是斜率为1,在t轴上的截距为-y的直线,由图可知: ∴
故所求函数值域为(-∞,〕
注:本题例12策略也可以解决函数
f(x)=的值域不足,只是转化为椭圆与直线有公共点时,直线在t轴上的截距不足。
六、不等式法
利用某些重要不等式,结合等号成立条件,得出函数值域。例10:求函数值域
解:∵此函数定义域为(1,+∞)设
μ=
=(∵x>1,∴x-1>0)
上式当且仅当 即x=3取等号,即y=log2μ≥2
故所求函数值域为〔2,+∞)
七、最值法
对闭区间〔a,b〕上的连续函数,可求出y=f(x)在区间〔a,b〕内极值,并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数最值,可得到函数值域八、单调法
确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数值域。
九、数形结合法
画出函数图象,利用图象直观得出函数值域。
例11:求函数y=|x-3|-|x+1|值域
解:设y=|x-3|-|x+1|
-4(x≥3)
=2-2x(-1≤x≤3)
4(x≤-1)
的图象如右图
故值域为〔-4,4〕
总之,在具体求某个函数值域时,首先要仔细认真观察其题型特点,然后再选择适当策略,做题就会得心应手,取得事半功倍的效果。
参考文献:
厉以宁,秦宛顺.现代西方经济学概论[M].北京:北京大学出版社,1983
黎诣远.西方经济学(上册)[M].北京:清华大学出版社
[3]李种,现代西方微观经济学概论[J].北京:高等教育出版社,1995
[4][美]H•范里安.[M].上海:上海三联书店,上海人民出版社,1994
[5]朱建中,高汝熹.数理经济学[Ml武汉:武汉大学出版社,1992
作者介绍:
秦慧珍(1969.3- ),女,山西省隰县,本科,中学一级教师。